Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/243

tion primitive d’un ordre inférieur, qui contiendra les constantes $a,b,c,\ldots ,$ et qui sera l’équation primitive génératrice de la forme

$\operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots ,a,b,c,\ldots )=0,$

d’où résultent les fonctions $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots ,$ en les prenant pour les valeurs des constantes $a,b,c,\ldots ,$ tirées de cette équation et de ses dérivées successives

$\operatorname {F} '(x,y,y',y'',\ldots )=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y,y',y'',\ldots )=0,\quad \ldots .$

Ainsi, si l’on avait entre ces fonctions une équation quelconque

$\Phi (\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots )=0,$

et que l’on reconnût que leurs dérivées $\varphi ',\psi ',\xi ',\ldots$ ont entre elles des rapports du même ordre que ces fonctions, on aurait tout de suite les équations primitives

$\varphi =a,\quad \psi =b,\quad \xi =c,\quad \ldots ,$

et de là l’équation primitive principale

$\operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots ,a,b,c,\ldots )=0,$

dans laquelle les constantes $a,b,c,\ldots ,$ seraient arbitraires, hors une, qui devrait être déterminée par l’équation donnée, laquelle se réduit alors à

$\Phi (a,b,c,\ldots )=0.$

On aurait ensuite l’équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.

Par exemple, si l’on proposait l’équation du premier ordre

$\Phi \left(x+yy',y{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)=0,$

sans qu’on sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exprimer les constantes tirées d’une équation primitive et de sa dérivée, on examinerait d’abord leurs dérivées, qui sont

$1+y'^{2}+yy''\quad {\text{et}}\quad y'{\sqrt {1+y'^{2}}}+{\frac {yy'y''}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\,;$