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Nommant $x,y$ les coordonnées du cercle, $a$ l’abscisse qui répond au centre, et $b$ le rayon, on aura

$y^{2}+(a-x)^{2}=b^{2},$

savoir,

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0.$

pour l’équation du cercle.

Maintenant l’équation proposée entre $b$ et $a$ donnera $b$ en fonction de $a\,;$ il ne restera ainsi que le paramètre $a,$ qu’on déterminera comme on vient de le dire, et l’équation en $x$ et $y$ deviendra alors celle de la courbe formée par l’intersection de tous les cercles, et aura, par conséquent, la propriété demandée.

Supposant, avec Leibnitz, que l’équation entre $a$ et $b$ soit celle de la parabole

$b^{2}=ak,$

$k$ étant une constante, l’équation en $x,y$ et $a$ sera

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-ak=0.$

Faisant varier $a$ seul, suivant la notation du Calcul différentiel, on a

$(-2x+2a-k)da=0,$

d’où l’on tire

$a={\frac {k+2x}{2}};$

substituant cette valeur dans l’équation précédente, on a

$y^{2}-kx-{\frac {k^{2}}{4}}=0$

pour la courbe cherchée, qu’on voit être aussi une parabole.

On peut s’assurer a posteriori que cette courbe résout le problème.

En effet, on sait que, $y$ étant l’ordonnée qu’on regarde comme fonction de l’abscisse $x,$ la fonction prime $y'$ exprime le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente, lequel est le même que celui de la sous-normale à l’ordonnée ; de sorte que $yy'$ est l’expression de la sous-normale ;