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par conséquent $y{\sqrt {1+y'^{2}}}$ sera celle de la normale, et $x+yy'$ celle de la partie de l’axe comprise entre l’origine et la normale. [Voyez la seconde Partie de la Théorie des fonctions analytiques^[1].]

Or l’équation qu’on vient de trouver donne

$y^{2}=kx+{\frac {k^{2}}{4}},$

et, prenant la dérivée,

$2yy'=k;$

donc la normale sera

${\sqrt {kx+{\frac {k^{2}}{2}}}},$

et la partie de l’axe sera

$x+{\frac {k}{2}},$

laquelle, étant multipliée par $k,$ devient, comme l’on voit, égale au carré de la normale.

Le problème est donc résolu de cette manière ; cependant on doit être surpris que Leibnitz n’ait pas remarqué que sa solution n’admet point de constante arbitraire dans l’équation de la courbe, tandis qu’il est évident que le problème conduit naturellement à une équation différentielle, dont l’intégrale ne peut être complète que par l’introduction d’une constante arbitraire.

En effet, nommant $a$ la partie de l’axe qui répond à la normale, et $b$ la normale, on a, comme on vient de le voir, les expressions

$a=x+yy',\quad b=y{\sqrt {1+y'^{2}}};$

donc, si l’on veut que $b=\operatorname {F} {a},$ on aura l’équation dérivée

$y{\sqrt {1+y'^{2}}}=\operatorname {F} (x+yy'),$

dont il faudra chercher l’équation primitive.

Suivant la notation du Calcul différentiel, on aurait à intégrer à

1. Œuvres de Lagrange, t. IX.