l’équation différentielle
![{\displaystyle y{\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}=\operatorname {F} \left(x+y{\frac {dy}{dx}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a70080ff9dc95d20cdb86241c84b0fd0dff8038)
Dans l’exemple proposé, on a
![{\displaystyle b=ak,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4854034564b01ab296a7170d3be7e6bd80ea76)
par conséquent
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)={\sqrt {ak}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8358b04d73cefa23e0e0afa787f8e6e71528dd6)
et l’équation dérivée devient
![{\displaystyle y{\sqrt {1+y'^{2}}}={\sqrt {x+yy'}}.k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8900b18a73594b6b8a21b003b50c3b6eb008c30e)
Si l’on tire de cette équation la valeur de
on a
![{\displaystyle yy'={\frac {k}{2}}+{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828505b58bc5a098da7157d904970b06f49061e5)
ou bien
![{\displaystyle k-2yy'+2{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4677ba47ab4c31d2070c186466f66e7f2f16d3a)
Divisant toute l’équation par
on aura
![{\displaystyle {\frac {k-2yy'}{2{\sqrt {{\cfrac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}}}}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79659eb94b60a3572316892cd9553416c4f9e60a)
équation dont la primitive est visiblement
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}}+x=h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1ba9b4fe1486fbac04d3e7329110ec11f7521d)
étant une constante arbitraire.
Cette équation devient, en faisant disparaître le radical,
![{\displaystyle {\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}=(h-x)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f30536c0fd497d07e0b2526702d8996147a893)
équation au cercle.