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l’équation différentielle

$y{\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}=\operatorname {F} \left(x+y{\frac {dy}{dx}}\right).$

Dans l’exemple proposé, on a

$b=ak,$

par conséquent

$\operatorname {F} (a)={\sqrt {ak}},$

et l’équation dérivée devient

$y{\sqrt {1+y'^{2}}}={\sqrt {x+yy'}}.k.$

Si l’on tire de cette équation la valeur de $yy',$ on a

$yy'={\frac {k}{2}}+{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}},$

ou bien

$k-2yy'+2{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}}=0.$

Divisant toute l’équation par $2{\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}},$ on aura

${\frac {k-2yy'}{2{\sqrt {{\cfrac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}}}}+1=0,$

équation dont la primitive est visiblement

${\sqrt {{\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}}}+x=h,$

$h$ étant une constante arbitraire.

Cette équation devient, en faisant disparaître le radical,

${\frac {k^{2}}{4}}+kx-y^{2}=(h-x)^{2},$

équation au cercle.