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Si l’on fait

$h=a-{\frac {k}{2}},$

$a$ étant la constante arbitraire, on a celle-ci

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}/ak=0.$

Cette équation est, comme l’on voit, la même que l’équation au cercle dont Leibnitz a tiré sa solution par la variation de $a\,;$ ainsi on peut dire que l’équation au cercle, dans laquelle $a,$ abscisse qui répond au centre, est la constante arbitraire, et dont le rayon est ${\sqrt {ak}},$ est l’équation primitive qui résout le problème dans toute sa généralité ; il est évident, en effet, que tout cercle dont le centre sera sur l’axe, et dont le rayon aura, avec la distance du centre à l’origine des abscisses, la relation qu’on suppose entre la normale et la partie de l’axe correspondante, satisfera à la question.

L’équation à la parabole, trouvée par Leibnitz, ne peut donc être qu’une équation primitive singulière ; en effet, en prenant dans la même équation au cercle les fonctions dérivées relativement à la constante arbitraire $a,$ comme on l’a enseigné au commencement de la Leçon quinzième, on a l’équation

$-2x+2a-k=0,$

laquelle donne

$a={\frac {k+2x}{2}},$

valeur qui, étant substituée dans l’équation au cercle, donne

$y^{2}-hx-{\frac {k^{2}}{4}}=0,$

comme Leibnitz l’a trouvé ; d’où l’on doit conclure que la solution de Leibnitz n’est donnée que par l’équation primitive singulière.

On a vu que Leibnitz avait déduit sa solution de la considération de la courbe formée par l’intersection continuelle de tous les cercles que l’on aurait en faisant varier continuellement la constante $a\,;$ c’est, en