effet, une propriété générale des équations primitives singulières d’appartenir aux courbes formées par l’intersection continuelle des courbes représentées par l’équation primitive complète, en faisant varier continuellement la constante arbitraire qui différencie toutes ces courbes.
Comme cette propriété est, pour ainsi dire, la caractéristique de cette espèce d’équations primitives, il est intéressant d’en avoir une démonstration.
Pour cela, on remarquera que la courbe formée par l’intersection continuelle d’une série de courbes infiniment peu différentes l’une de l’autre n’est autre chose que la courbe qui embrasserait ou toucherait toutes ces courbes, et qui aurait, par conséquent, dans chacun de ses points, une tangente commune avec une de ces mêmes courbes.
Or, soit
l’équation générale des courbes dont il s’agit, étant le paramètre, qui est constant dans chacune d’elles, mais qui varie de l’une à l’autre ; comme la courbe qui doit les embrasser a un point commun avec chacune de ces courbes, elle aura aussi les mêmes coordonnées et et la même équation entre ces coordonnées, mais avec cette différence que le paramètre sera variable dans l’équation
tant qu’elle appartiendra à la courbe qui embrasse toutes les autres.
De plus, il faudra que la position de la tangente soit la même dans la courbe où est constant et dans celle où est variable.
Or on sait que cette position ne dépend que de la fonction prime puisque est l’expression de la sous-tangente ; donc il faudra que la valeur de tirée de la dérivée de l’équation
soit la même, soit qu’on y regarde comme constante, soit qu’on la regarde comme une variable fonction de ce qui ne peut avoir lieu, à moins que la partie de la fonction dérivée relative à ne soit nulle.
