Cette partie est, suivant la notation adoptée, donc on aura l’équation
laquelle servira à déterminer en et Or cette équation est, comme l’on voit, la même que celle qui donne l’équation primitive singulière, lorsque
est l’équation primitive ordinaire, dans laquelle a est la constante arbitraire, comme nous l’avons vu dans la Leçon citée.
Donc l’identité de l’équation primitive singulière et de l’équation de la courbe, qui embrasse toutes celles qui sont comprises dans l’équation primitive ordinaire, est démontrée et résulte des principes mêmes de la chose.
Cette considération géométrique est très importante pour la théorie des équations primitives singulières ; elle sert à lier entre elles les courbes représentées par l’équation primitive ordinaire et par l’équation primitive singulière, comme le principe analytique qui sert de base à cette théorie sert à lier entre elles ces mêmes équations par la variation de la constante arbitraire.
Ainsi le problème analytique que nous avons résolu au commencement de la Leçon précédente se réduit à trouver des courbes qui, ayant un paramètre variable, puissent former, par leur intersection mutuelle, une courbe donnée.
On peut donc présenter ce problème ainsi :
Ayant deux courbes dont les équations soient données, et dont l’une contienne déux constantes arbitraires, trouver la relation nécessaire entre ces deux constantes, pour qu’en faisant varier celle qui demeure arbitraire, on ait une infinité de courbes du même genre qui, par leur intersection continuelle, forment toujours l’autre courbe donnée.
Pour le résoudre, il n’y aura qu’à chercher, par les méthodes exposées dans la Leçon précédente, la relation entre les constantes
