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et $b$ de l’équation donnée

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

pour qu’à cette équation, regardée comme une équation primitive ordinaire, réponde l’équation primitive singulière

$y=\Sigma (x),$

qui sera celle de la courbe qui doit être formée par l’intersection continuelle des courbes données par l’autre équation.

Le problème résolu par Leibnitz l’a été aussi par Jean Bernoulli, dans ses Leçons de Calcul intégral (tome III des Œuvres de Jean Bernoulli, Leçon XIV), mais par une autre voie qui l’a conduit au même résultat. En considérant deux normales infiniment proches, il observe que l’accroissement infiniment petit de la normale est à l’accroissement de la partie de l’axe qui répond à la normale comme la partie de l’axe comprise entre l’ordonnée et la normale est à la normale même, ce qui est facile à voir par la similitude des triangules.

Il a ainsi, suivant l’esprit du Calcul différentiel, en nommant, comme plus haut, $a$ la partie de l’axe qui répond à la normale et $b$ la normale même, l’équation

${\frac {db}{da}}={\frac {a-x}{b}},$

d’un autre côté, la considération du triangle rectangle dont $b$ est l’hypoténuse et $y$ et $a-x$ les deux côtés donne

$y^{2}+(a-x)^{2}=b^{2}.$

De ces deux équations il tire

$x=a-b{\frac {db}{da}},\quad y=b{\sqrt {1-{\frac {db^{2}}{da^{2}}}}}.$

Or les conditions du problème donnent $b$ en fonction de $a\,;$ ainsi on aura $x$ et $y$ en fonction de $a,$ et, chassant $a,$ on aura l’équation de la courbe cherchée en $x$ et $y.$