En supposant, comme dans l’exemple de Leibnitz,
on a
donc, faisant ces substitutions dans les valeurs de et on aura
d’où, éliminant il vient
pour l’équation de la courbe cherchée, qu’on voit être la même parabole que Leibnitz avait trouvée par une méthode tout à fait différente.
Telle est la solution de Jean Bérnoulli, qui coïncide, comme on le voit, avec celle de Leibnitz, et sur laquelle, par conséquent, on peut faire les mêmes observations.
D’abord on peut être étonné que Bernoulli n’ait pas remarqué que ce problème appartient essentiellement à la méthode inverse des tangentes, et que, par conséquent, la solution générale dépend d’une intégration qui doit nécessairement introduire une constante arbitraire dans l’équation entre et et cela peut surprendre d’autant plus qu’il avait donné auparavant, dans les mêmes Leçons, les expressions différentielles de la normale et de la sous-normale, et que le problème ne consiste qu’à établir entre ces quantités une relation donnée.
Ensuite il est clair, par ce que nous avons vu plus haut, que la solution de Bernoulli dépend d’une équation intégrale ou primitive singulière, et, pour le démontrer par sa propre analyse, il suffit de considérer qu’on aura directement l’équation en et en substituant la valeur de en donnée par le problème, dans les deux équations
et éliminant ensuite
