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Ainsi, en supposant

$b={\sqrt {ka}},$

ces deux équations deviennent

${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {k}{a}}}={\frac {a-x}{\sqrt {ka}}},\quad y^{2}+(a-x)^{2}=ka;$

la première donne

${\frac {k}{2}}=a-x\,;\quad {\text{donc}}\quad a=x+{\frac {k}{2}},$

ce qui étant substitué dans la seconde, on a

$y^{2}+{\frac {k^{2}}{4}}=kx+{\frac {k^{2}}{2}},\quad {\text{d’où}}\quad y^{2}=kx+{\frac {k^{2}}{4}},$

comme on l’a trouvé.

Or je remarque que l’équation différentielle

${\frac {db}{da}}={\frac {a-x}{b}},\quad {\text{ou}}\quad b\,db=(a-x)da,$

n’est autre chose que la différentielle de l’autre équation

$y^{2}+(a-x)^{2}=b^{2},$

en faisant varier seulement $a$ et $b.$

Ainsi, comme $b$ est supposé fonction de $a,$ la solution se réduit à faire varier $a$ seul dans l’équation

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0$

et à éliminer ensuite a au moyen de cette nouvelle équation, ce qui revient, comme l’on voit, au procédé de Leibnitz, puisque l’équation est la même que son équation au cercle ; on voit aussi que ce procédé coïncide avec celui qui donne l’équation primitive singulière de l’équation dérivée ou différentielle, dont la même équation

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0$

serait l’équation primitive, $a$ étant la constante arbitraire.