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On aura donc cette équation dérivée en éliminant a de l’équation primitive par le moyen de sa dérivée

$yy'+x-a=0,$

ou bien en déterminant $a$ et $b$ par le moyen de ces deux équations, et substituant leurs valeurs dans celle qui renferme la relation entre les quantités $a$ et $b,$ donnée par les conditions du problème.

Or ces équations

$a=x+yy',\quad b=y{\sqrt {1+y'^{2}}},$

donnent expressions qu’on voit être les mêmes que nous avons trouvées plus haut pour la normale $b$ et pour la partie de l’axe $a$ qui répond à cette normale ; de sorte que, si la relation entre ces deux quantités est représentée, en général, par

$\Phi =(a,b)=0,$

l’équation dérivée, qui répond à la primitive

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0,$

C’est l’équation générale du problème de Leibnitz et de Bernoull i, dont ils ont trouvé l’un et l’autre, par des méthodes différentes, l’équation primitive singulière, sans se douter de l’espèce de contradiction que leurs solutions présentaient avec les principes mêmes du Calcul différentiel.

Avant de quitter cette analyse, il est bon de montrer a priori pourquoi les expressions des constantes $a$ et $b,$ tirées de l’équation au cercle

$y^{2}+x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}=0$

et de sa dérivée

$yy'+x-a=0,$

sont les mêmes que celles qu’on trouve pour la normale et pour la partie correspondante de l’axe, dans une courbe quelconque rapportée aux coordonnées $x,y.$