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Si l’on conçoit un cercle qui touche une courbe dans un point, il est clair que son rayon, dans ce point, deviendra la normale à la courbe. Or l’équation dont il s’agit est, comme nous l’avons déjà vu, celle d’un cercle dont le centre est dans l’axe et répond à l’abscisse $a,$ et dont le rayon est $b\,;$ et, pour que le cercle touche une courbe donnée, il faut premièrement qu’il ait un point commun avec elle, dans lequel, par conséquent, les coordonnées $x,y$ seront les mêmes ; il faut ensuite que la valeur de $y'$ soit aussi la même dans le cercle et dans la courbe, comme nous l’avons démontré rigoureusement dans la seconde Partie de la Théorie des fonctions analytiques ainsi, pour que $b$ devienne, la normale à la courbe et que $a$ soit la partie de l’axe qui y répond, il faudra que l’équation

$y^{2}+(x-a)^{2}-b^{2}=0$

et sa dérivée, prise en regardant $a$ et $b$ comme constantes,

$yy'+x-a=0$

aient lieu en même temps, par rapport aux coordonnées $x,y$ de la courbe ; d’où l’on tire, pour $a$ et $b,$ les valeurs données ci-dessus.

Les solutions de Leibnitz et de Jean Bernoulli offrent les premiers exemples des équations primitives singulières ; mais Taylor est peut-être le premier qui ait trouvé directement une équation primitive singulière d’après l’équation dérivée.

Dans son Ouvrage intitulé Methodus incrementorum, qui a paru en 1715, Taylor étant parvenu (p. 27), pour la solution d’un problème, à cette équation différentielle (j’emploie ici, pour plus de commodité, la notation différentielle à la place de la notation fluxionnelle des Anglais, ces deux notations exprimant la même chose dans le fond),

$1=y^{2}-2zy{\frac {dy}{dz}}+\left(1+z^{2}\right){\frac {dy^{2}}{dz^{2}}},$

dans laquelle $y$ est fonction de $z$ il la différentie en faisant $dz$ constant, et il obtient l’équation

$\left[-2zy+2\left(1+z^{2}\right){\frac {dy}{dz}}\right]{\frac {d^{2}y}{dz}}=0,$