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d’où il tire

$d^{2}y=0\quad {\text{ou}}\quad zy-\left(1+z^{2}\right){\frac {dy}{dz}}=0.$

Cette dernière équation donne

${\frac {dy}{dz}}={\frac {zy}{1+z^{2}}},$

ce qui réduit la proposée à

$1=y^{2}-{\frac {2z^{2}y^{2}}{1+z^{2}}}+{\frac {z^{2}y^{2}}{1+z^{2}}},$

savoir,

$1+z^{2}=y^{2},$

qui est, dit-il, singularis quœdam solutio problematis,

Considérons l’autre équation $d^{2}y=0,$ où $dz$ est constant ; en prenant successivement ses deux primitives ou intégrales, on a

$y=a+bz,$

où $a$ et $b$ sont deux constantes arbitraires ; mais la proposée n’étant que du premier ordre ne comporte qu’une seule arbitraire ; il faut donc y substituer cette valeur de $y$ pour avoir la relation qui doit avoir lieu entre $a$ et $b,$ et pour cela il suffit de supposer partout $z=0,$ auquel cas on a

$y=a,\quad {\frac {dy}{dz}}=b,$

et l’équation devient

$1=y^{2}+{\frac {dy^{2}}{dz^{2}}};$

donc

$1=a^{2}+b^{2}$

et, par conséquent,

$b={\sqrt {1-a^{2}}}.$

Il est évident, par ce que nous avons démontré dans les dernières Leçons, que la solution que Taylor nomme singulière n’est autre chose qu’une équation primitive singulière de l’équation du premier ordre

$1=y^{2}-2zy'+\left(1+z^{2}\right)y'^{2},$