dont
est l’équation primitive complète ; car la dérivée de cette équation du premier ordre étant, en faisant
le facteur du premier ordre donnera l’équation primitive singulière, et l’autre facteur donnera l’équation primitive complète, comme nous l’avons montré dans la Leçon seizième.
On peut aussi tirer la première de la seconde par les principes exposés dans la Leçon quinzième ; car, l’équation primitive complète étant
sa dérivée relative à sera
éliminant de ces deux équations, on a
Longtemps après, en 1734, Clairaut, en résolvant quelques problèmes sur des courbes, fut conduit à une équation différentielle, dont il obtint aussi deux intégrales différentes par le moyen de la différentiation ; il était parvenu à ces deux équations
et étant des fonctions données d’une variable qu’il s’agissait d’éliminer.
L’élimination étant impossible en général, il eut l’idée heureuse de différentier la première et d’y substituer la valeur de tirée de la seconde ; on a ainsi cette équation
d’où l’on déduit deux valeurs de l’une donnée par l’équation