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dont

$y=a+z{\sqrt {1-a^{2}}}$

est l’équation primitive complète ; car la dérivée de cette équation du premier ordre étant, en faisant $z'=1,$

$\left[-2zy+2\left(1+z^{2}\right)y'\right]y''=0,$

le facteur du premier ordre $-2zy+2\left(1+z^{2}\right)y'$ donnera l’équation primitive singulière, et l’autre facteur $y''$ donnera l’équation primitive complète, comme nous l’avons montré dans la Leçon seizième.

On peut aussi tirer la première de la seconde par les principes exposés dans la Leçon quinzième ; car, l’équation primitive complète étant

$y=a+z{\sqrt {1-a^{2}}},$

sa dérivée relative à $a$ sera

$0=1-{\frac {za}{\sqrt {1-a^{2}}}};$

éliminant $a$ de ces deux équations, on a

$1+z^{2}=y^{2}.$

Longtemps après, en 1734, Clairaut, en résolvant quelques problèmes sur des courbes, fut conduit à une équation différentielle, dont il obtint aussi deux intégrales différentes par le moyen de la différentiation ; il était parvenu à ces deux équations

$(x-u)\Pi (u)=y-\Phi (u)\quad {\text{et}}\quad dy=\Pi (u)dx,$

$\Pi (u)$ et $\Phi (u)$ étant des fonctions données d’une variable $u$ qu’il s’agissait d’éliminer.

L’élimination étant impossible en général, il eut l’idée heureuse de différentier la première et d’y substituer la valeur de $dy,$ tirée de la seconde ; on a ainsi cette équation

$\left[\Pi (u)-(x-u)\Pi '(u)-\Phi '(u)\right]du=0,$

d’où l’on déduit deux valeurs de $u,$ l’une donnée par l’équation

$\Pi (u)(x-u)\Pi '(u)-\Phi '(u)=0,$