Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/259

l’autre par l’équation

$du=0,$

laquelle donne, par l’intégration,

$u=a,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Ces deux valeurs de $u,$ étant substituées dans la première équation

$(x-u)\Pi (u)=y-\Phi (u),$

donneront deux intégrales en $x$ et $y,$ l’une sans constante arbitraire, l’autre avec la constante arbitraire $a,$ et qui sera

$(x-a)\Pi (a)=y-\Phi (a),$

laquelle ne représente, comme l’on voit, que des lignes droites.

Clairaut examine ensuite quelques cas particuliers du même problème, où il fait voir comment le Calcul intégral ne donne jamais que les lignes droites exprimées par l’équation générale

$x\Pi (a)-a\Pi (a)=y-\Phi (a),$

et comment les équations trouvées par la première méthode échappent à l’intégration.

« J’ai été bien aise », dit-il, « de montrer cette singularité de calcul, qui s’est présentée d’elle-même ; on pourrait l’énoncer, indépendamment du problème présent, de cette manière : »

Il y a des équation différentielle capables d’avoir deux solutions différentes l’une de l’autre, dont l’une (et même dans ce cas-ci la plus générale) n’a pas besoin du Calcul intégral ; telles sont les équations

$xdydx-dy^{2}=ydx^{2}-dydx,$

à laquelle

$4y=x^{2}+2x+1\quad {\text{et}}\quad 2ax-2x=-4y+1-a^{2}$

satisfont également ; et

$ady^{2}+xdy^{2}-ydydx=xdxdy-ydx^{2}.$