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qui donne pour solutions

${\frac {x}{\sqrt {y}}}-{\sqrt {y}}={\sqrt {4a}}\quad {\text{et}}\quad b^{2}y-2bx+2by=-4a.$

En général, ${\frac {d\Phi (x,y)}{\Phi (x,y)}}=$ à une fonction quelconque de $x,y,dx,dy$ serait de cette nature ; intégrée, elle donnerait une équation ; et, sans aucune intégration,

$\Phi (x,y)=0$

serait l’autre^[1]. »

En rapprochant ces différentes solutions de notre théorie, il est évident que celles qui ne renferment point de constante arbitraire ne sont que des équations primitives singulières, et que les autres, qui contiennent une constante arbitraire, sont les équations primitives complètes ; mais Clairaut a tort de regarder ces dernières comme moins générales, parce qu’elles ne représentent que des lignes droites.

À l’égard de l’équation différentielle

${\frac {d\Phi (x,y)}{\Phi (x,y)}}=\operatorname {F} \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right)dx,$

on ne peut pas dire, en général, avec Clairaut, que l’équation finie

$\Phi (x,y)=0$

est de la même nature que les intégrales qu’il avait trouvées auparavant sans constante arbitraire ; car cette intégrale peut être une équation primitive singulière ou simplement un cas particulier de l’équation primitive complète.

Car, si l’on fait, pour abréger,

$\Phi (x,y)=z,$

et qu’on suppose qu’ayant tiré de cette équation la valeur de $y$ en on la substitue dans la fonction $\operatorname {F} \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right),$ on aura une équation

1. Voyez les Mémoires de l’Académie des Sciences pour 1734, p. 213.