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en $x$ et $z$ de la forme

${\frac {dz}{z}}=f\left(x,z,{\frac {dz}{dx}}\right)dx$

ou bien

$z'=zf(x,z,z').$

Pour que $z=0$ soit une équation primitive singulière, il faudra que $z=0$ donne

$z''={\frac {0}{0}},$

comme nous l’avons vu dans la Leçon seizième ; or, en prenant la dérivée de l’équation précédente, on verra que cette condition ne peut avoir lieu que lorsque $z=0$ donnera

$zf'(z')=1.$

Dans les autres cas, l’équation $z=0$ ne pourra donc être qu’un cas particulier de l’équation primitive complète.

En effet, en regardant d’abord $z$ comme très petite et négligeant $z$ dans la fonction $f(x,z,z'),$ on aura simplement

$z'=zf(x),$

d’où l’on tire

${\frac {z'}{z}}=f(x),$

et, prenant les fonctions primitives,

$lz=f_{_{'}}(x)+k,$

$k$ étant une constante arbitraire.

Je dénote par $f_{_{'}},$ avec un trait placé au bas de la caractéristique $f,$ la fonction primitive dénotée par la simple caractéristique $f\,;$ on pourra de même dénoter, dans l’occasion, par $y_{_{'}},$ la fonction primitive de $y\,;$ par $y_{_{''}},$ la fonction primitive de $y_{_{'}},$ c’est-à-dire la fonction primitive seconde de $y,$ et ainsi des autres. Cette notation, que j’avais déjà proposée dans l’Ouvrage sur la Résolution des équations numériques^[1], me

1. Œuvres de Lagrange, t. VIII.