paraît aussi propre, pour désigner les fonctions primitives, que la notation ordinaire l’est pour les fonctions dérivées.
Maintenant il est clair que, dans l’équation
on aura
en faisant la constante infinie, puisque
Ainsi
sera alors un cas particulier de l’équation primitive complète.
Euler avait aussi trouvé, dans sa Mécanique, différents exemples de cette duplicité d’intégrales ; il avait même donné des règles pour les découvrir dans quelques cas, comme on le voit dans les articles 268, 303, 335 du second Tome de la Mécanique ; mais ce n’est que plusieurs années après qu’il s’est occupé, ex professo, de cette partie du Calcul intégral dans un Mémoire intitulé Exposition de quelquesparadoxes du Calcul intégral, et imprimé dans le Recueil de l’Académie de Berlin pour 1756.
Dans ce Mémoire, Euler se propose différents problèmes relatifs aux tangentes, qui conduisent naturellement à des équations différentielles, et il remarque qu’ils ont chacun deux solutions, dont l’une résulte de l’intégration et admet, par conséquent, une constante arbitraire, et dont l’autre est indépendante de l’intégration et peut se trouver même par la différentiation de l’équation.
Voici un de ces problèmes :
On demande une courbe telle, que, tirant de deux points donnés des perpendiculaires sur une quelconque de ses tangentes, le produit de ces perpendiculaires soit une quantité constante.
Faisons passer l’axe des abscisses par les deux points donnés, et soient et les deux abscisses qui répondent à ces points et la sous-
