Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/279

Si maintenant on suppose que la différence $i$ devienne infiniment petite, la différence correspondante $\Delta y$ le deviendra aussi ; mais leur rapport ${\frac {\Delta y}{i}},$ qui, dans le premier cas, est égal à $a$ et, dans le second, est égal à $b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}},$ demeurera fini ; ce rapport devient alors la fonction dérivée de $y,$ regardée comme fonction de $x,$ et l’équation aux différences devient, par conséquent,

$y=xy'+y'^{2},$

qui est, en effet, l’équation dérivée dont la primitive es

$y=ax+a^{2},$

$a$ étant la constante arbitraire.

Car, en prenant les fonctions dérivées, on a

$y'=a,$

et, substituant cette valeur, il vient

$y=xy'+y'^{2}.$

Mais que devient alors la seconde expression de $y$ qui contient la constante arbitraire $b$ ?

Suivant les principes des infiniment petits, le terme $-{\frac {i}{4}}$ doit être rejeté vis-à-vis du terme fini $b(-1)^{\frac {x}{i}}\,;$ ainsi on aurait simplement

$y=\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}\right]^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}=b^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},$

à cause de

$(-1)^{\frac {2x}{i}}=1^{\frac {x}{i}}=1.$

Mais cette valeur de $y$ ne satisfait pas à l’équation dérivée, à moins qu’on ne suppose

$b=0,$

car elle donne

$y'=-{\frac {x}{2}}.$