Si maintenant on suppose que la différence
devienne infiniment petite, la différence correspondante
le deviendra aussi ; mais leur rapport
qui, dans le premier cas, est égal à
et, dans le second, est égal à
demeurera fini ; ce rapport devient alors la fonction dérivée de
regardée comme fonction de
et l’équation aux différences devient, par conséquent,
![{\displaystyle y=xy'+y'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e38b8c770c8ecb7d86a13e2ac35ee865a200bb1)
qui est, en effet, l’équation dérivée dont la primitive es
![{\displaystyle y=ax+a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ae6751a840fbc24549118c73f71e3005d1b9b5)
étant la constante arbitraire.
Car, en prenant les fonctions dérivées, on a
![{\displaystyle y'=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7d74186722b3a6ea4219eed7ee892bfbecf245)
et, substituant cette valeur, il vient
![{\displaystyle y=xy'+y'^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55e0779f6e8af407755527b00ffc74fba9a9ba7)
Mais que devient alors la seconde expression de
qui contient la constante arbitraire
?
Suivant les principes des infiniment petits, le terme
doit être rejeté vis-à-vis du terme fini
ainsi on aurait simplement
![{\displaystyle y=\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}\right]^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}=b^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aebbb9d666efdd327a88152a4836a9c3b79ed5b6)
à cause de
![{\displaystyle (-1)^{\frac {2x}{i}}=1^{\frac {x}{i}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec9bba7576d642180a5dfdae50f18e9dee8726d)
Mais cette valeur de
ne satisfait pas à l’équation dérivée, à moins qu’on ne suppose
![{\displaystyle b=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f202a65bf9433acd9a3c75335d0784bcf14c2a32)
car elle donne
![{\displaystyle y'=-{\frac {x}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ebbf329557f5d05fcc47d7842d19900cdca446)