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Faisant la substitution, on a

$b^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{2}}{4}}$

et, par conséquent,

$b=0.$

Ainsi il faut dire que le passage du fini à l’infiniment petit anéantit non seulement les quantités infiniment petites, mais encore la constante arbitraire.

Au reste, en faisant

$b=0,$

l’expression

$y=-{\frac {x^{2}}{4}}$

devient une valeur singulière ; car, en prenant les fonctions dérivées relatives à $a$ dans l’équation primitive

$y=ax+a^{2},$

on a

$x+2a=0,$

d’où

$a=-{\frac {x}{2}},$

et de là

$y=-{\frac {x^{2}}{4}}.$

Ainsi on peut regarder aussi la seconde expression de $y$ comme une valeur singulière du terme général ; mais, comme elle conserve la constante $b$ tant que les différences à sont finies, il est clair qu’elle a la même généralité que la première, en sorte qu’on peut supposer que la valeur de $y$ soit donnée lorsque $x=0,$ ce qui n’a pas lieu pour les valeurs singulières des équations primitives ordinaires.

Feu Charles, de l’Académie des Sciences, est le premier qui ait fait cette remarque importante, qu’à une même équation aux différences finies peuvent répondre deux équations intégrales ou sans différences,