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ayant chacune une constante arbitraire. (Voyez les Mémoires de cette Académie pour l’année 1783.)

Mais les conséquences qu’il a voulu en tirer dans la suite (Mémoire de 1788), relativement aux intégrales des équations différentielles, sont tout à fait illusoires ; elles prouvent seulement qu’on ne peut pas appliquer immédiatement à l’infiniment petit proprement dit les résultats trouvés dans la supposition du fini, et que, dans le passage du fini à l’infiniment petit, il faut supprimer entièrement tous les termes qui peuvent contenir l’infiniment petit, quoique ces termes puissent n’être pas eux-mêmes infiniment petits.

Ainsi, dans la formule

$y=\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {i}{4}}\right]^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},$

le terme $b(-1)^{\frac {x}{i}}$ ne devient pas infiniment petit par la supposition de $i$ infiniment petit ; néanmoins, ce terme contenant la différence $i,$ qui devient infiniment petite dans l’équation différentielle, doit être supprimé pour avoir un résultat exact. En effet, en effaçant tout ce qui contient $i$ dans l’équation précédente, on a simplement

$y=-{\frac {x^{2}}{4}},$

comme cela doit être pour satisfaire à l’équation dérivée.

La raison en est que, dans le passage supposé du fini à l’infiniment petit, les fonctions changent réellement de nature, et que le ${\frac {dy}{dx}},$ qu’on emploie dans le Calcul différentiel, est essentiellement une fonction différente de la fonction $y,$ tandis que tant que la différence $dx$ a une valeur quelconque, aussi petite qu’on voudra, cette quantité n’est que la différence de deux fonctions de la même forme ; d’où l’on voit que, si le passage du fini à l’infiniment petit peut être admis comme moyen mécanique de calcul, il ne peut servir à faire connaître la nature des équations différentielles, qui consiste en ce qu’elles donnent des rapports entre les fonctions primitives et leurs dérivées.