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Cette valeur de ${\frac {df(x)}{dx}}$ devient ${\frac {0}{0}}$ lorsque $dx=0\,;$ pour savoir ce qu’elle doit être dans ce cas-là, on suivra la règle exposée à la fin de la Leçon VIII, et que nous avons déduite de principes indépendants du Calcul différentiel.

On prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relatives à la variable $dx,$ et l’on y fera ensuite

$dx=0.$

On aura ainsi $f'(x+dx),$ et, faisant $dx=0,$ on trouvera $f'(x)$ pour la valeur de ${\frac {df(x)}{dx}},$ lorsque

$dx=0.$

Cette valeur est, comme l’on voit, la même que celle que donne le Calcul différentiel, comme nous l’avons observé à la fin de la Leçon II.

Si l’on considère de même les différences secondes, on a d’abord rigoureusement

$d^{2}f(x)=f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x);$

donc

${\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}={\frac {f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x)}{dx^{2}}}.$

En faisant

$dx=0,$

cette valeur de ${\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}$ devient ${\frac {0}{0}}\,;$ on prendra donc alors les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la variable $dx,$ ce qui donnera

${\frac {f'(x+2dx)-f'(x+dx)}{dx}}.$

Cette expression devient de nouveau ${\frac {0}{0}},$ lorsqu’on y fait

$dx=0;$

c’est pourquoi il faudra prendre encore les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la même variable $dx\,;$ on