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aura

$2f''(x+2dx)-f''(x+dx).$

En faisant ici

$dx=0,$

on a enfin $f''(x)$ pour la valeur de ${\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}},$ lorsque

$dx=0.$

C’est, en effet, la valeur de la différentielle seconde de $f(x),$ divisée par $dx^{2}.$

On doit conclure de là, en général, que les expressions ${\frac {dy}{dy}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots ,$ employées dans le Calcul différentiel, ne peuvent être prises que pour des symboles des fonctions dérivées $y',y'',\ldots .$

Nous avons observé plus haut que Taylor n’était parvenu à la formule qui porte son nom que d’une manière peu exacte. On peut, par les principes précédents, donner à son procédé toute la rigueur que l’Analyse exige.

Si, dans la formule générale d’interpolation donnée ci-dessus, on fait

$y=f(x),$

elle devient

${\begin{aligned}f(x+\omega )=f(x)&+\omega {\frac {\Delta f(x)}{i}}+{\frac {\omega (\omega -i)}{2}}{\frac {\Delta ^{2}f(x)}{i^{2}}}\\&+{\frac {\omega (\omega -i)(\omega -2i)}{2.3}}{\frac {\Delta ^{3}f(x)}{i^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle

${\begin{aligned}&\Delta \ f(x)=f(x+i)\ \ -f(x),\\&\Delta ^{2}f(x)=f(x+2i)-2f(x+i)+f(x),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Cette formule est générale, quel que soit $i\,;$ mais, en faisant

$i=0,$

les valeurs des expressions ${\frac {\Delta f(x)}{i}},\ {\frac {\Delta ^{2}f(x)}{i^{2}}},\ldots$ deviennent ${\frac {0}{0}}.$

Or ces expressions sont les mêmes que celles que nous avons considérées ci-dessus, en changeant $\Delta$ en $d,$ et $i$ en $dx.$