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Ainsi elles deviennent $f'(x),f''(x),\ldots$ dans le cas de

$i=0.$

On a donc alors

$f(x+\omega )=f(x)+\omega f'(x)+{\frac {\omega ^{2}}{2}}f''(x)+\ldots ,$

comme nous l’avons trouvé dans la Leçon deuxième, d’une manière rigoureuse et directe.

On peut conclure de ce que nous venons d’exposer que ceux qui, d’après Euler, regardent les différentielles comme de véritables zéros, et, par conséquent, leur rapport comme celui de zéro à zéro, sont dans toute la rigueur de l’Analyse, parce qu’une fonction qui satisfait en général aux conditions d’une question ne saurait changer de forme pour un cas particulier, qu’en passant par l’état de ${\frac {0}{0}}\,;$ comme on peut le prouver par plusieurs exemples.

On sait que la somme des $n$ premiers termes de la progression géométrique

$1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots$

est exprimée par ${\frac {1-a^{n}}{1-a}}.$

En regardant cette expression comme une fonction de $n,$ on voit que cette fonction est de la forme exponentielle.

Cependant, lorsque

$a=1,$

la série devient

$1+1+1+\ldots ,$

et la somme de $n$ termes est $n.$

Ainsi, dans ce cas, il faut que la fonction exponentielle change de forme et devienne une simple fonction algébrique, ce qui ne peut se faire que par une espèce de saut que l’Analyse indique alors par l’expression ${\frac {0}{0}}.$

En effet, en faisant

$a=1,$