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est représentée généralement par la fonction en sinus ${\frac {\sin nx}{n}},$ comme on le voit par la formule rapportée plus haut.

Cette fonction devient ${\frac {0}{0}}$ lorsque

$n=0,$

auquel cas la série se réduit à

${\frac {\sin x}{\cos x}}-{\frac {\sin ^{3}x}{3\cos ^{3}x}}+{\frac {\sin ^{4}x}{5\cos ^{5}x}}-\ldots .$

Cela indique que la fonction doit changer de forme dans ce cas ; en effet, si l’on prend, suivant la règle, les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, relativement à la variable $n,$ la fonction devient $x\cos nx$ et se réduit à la fonction circulaire $x,$ en faisant

$n=0.$

C’est, comme l’on sait, la valeur rigoureuse de la série

$\operatorname {tang} x-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}x+{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{5}x-\ldots .$

On voit clairement, par ces différents exemples, qu’il serait aisé de multiplier s’il était nécessaire, que l’expression ${\frac {0}{0}}$ est toujours le symptôme d’un changement de fonction, ce qu’il me semble qu’on n’avait pas encore remarqué.

C’est par les principes exposés dans cette Leçon qu’on peut résoudre, d’une manière satisfaisante, les difficultés qu’on a toujours rencontrées lorsqu’on a voulu appliquer à un nombre infini d’éléments les formules qu’on avait trouvées pour un nombre fini quelconque. Le fameux problème des cordes vibrantes en fournit un exemple remarquable, et l’on peut voir, dans les Opuscules mathématigues (t. I et IV), les objections que d’Alembert a faites contre la solution de ce problème, donnée dans le premier Volume des Mémoires de l’Académie de Turin^[1], et déduite de la formule générale du mouvement d’un fil chargé d’un nombre quelconque de poids, en supposant ce nombre infini et chaque poids infini-

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 39.