Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/303

dérivées relatives à la variable $y,$ par des traits appliqués à la même caractéristique, mais précédés d’une virgule ; enfin les fonctions dérivées relatives en partie à la variable $x$ et en partie à la variable $y,$ par des traits séparés par une virgule, de manière que ceux qui précèdent la virgule se rapportent à la variable $x,$ et ceux qui la suivent se rapportent à la variable $y.$

Cette notation conserve mieux l’analogie qui doit régner entre les fonctions dérivées et la fonction primitive $f(x,y),$ dans laquelle la virgule sépare les deux variables indépendantes $x$ et $y,$ que celle que j’avais employée dans la théorie des fonctions, en appliquant au bas de la caractéristique $f$ les traits relatifs aux fonctions dérivées par rapport à la seconde variable $y.$

D’ailleurs nous trouvons plus convenable d’employer, comme nous l’avons déjà fait dans la Leçon XVII, les traits inférieurs pour désigner les fonctions primitives d’une fonction donnée.

De cette manière on aura donc, en premier lieu,

$f(x+i,y)=f(x,y)+if'^{,}(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y)+\ldots .$

Substituant maintenant partout $y+o$ à la place de $y,$ on aura

${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y+o)+if'^{,}(x,y+o)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y+o)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y+o)+\ldots .\end{aligned}}$

Développons successivement les fonctions

$f(x,y+o),\quad f'^{,}(x,y+o),\quad f''^{,}(x,y+o),\quad \ldots$

comme des fonctions de $y+o\,;$ on aura pareillement

${\begin{aligned}f(x,y+o)=&f(x,y)+of^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f^{,}\,''(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f^{,}\,'''(x,y)+\ldots ,\\f'^{,}(x,y+o)=&f'^{,}(x,y)+of'^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f'^{,}\,''(x,y)+\ldots ,\\f''^{,}(x,y+o)=&f''^{,}(x,y)+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.