Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de
et
on aura ce développement complet
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'^{,}(x,y)+of^{,}\,'(x,y)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y)+iof'^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f^{,}\,''(x,y)\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y)+{\frac {i^{2}o}{2}}f'^{,}\,'(x,y)+{\frac {io^{2}}{2}}f'^{,}\,''(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f^{,}\,'''(x,y)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de9236ba4e5b56acf55ba6d0894cfd59aa6aac5)
dans lequel la forme générale du terme est
![{\displaystyle {\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}f^{m,n}(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3784800b5546cbad2911f7a613d076bff0bebe07)
Dans l’opération que nous venons de faire pour avoir le développement de
nous avons commencé par substituer, dans
pour
et nous avons développé suivant
nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement,
pour
et nous avons développé suivant
Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat si l’on commençait l’opération par la substitution de
à la place de
et par le développement suivant
et qu’on fit ensuite la substitution de
pour
et le développement suivant
De cette manière on aurait d’abord les fonctions primes, secondes,… relatives à
c’est-à-dire, suivant la notation que nous venons d’employer, les fonctions
![{\displaystyle f^{,}\,'(x,y),\quad f^{,}\,''(x,y),\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22a03d428a4d4625d9e370931f2decfa7a12d0e)
Ensuite on aurait les fonctions primes, secondes,… de celles-ci relatives à
et qui seraient désignées par
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}f'^{,}\,'(x,y),&f''^{,}\,'(x,y),&\ldots ,\\f'^{,}\,''(x,y),&f^{'',''}(x,y),&\ldots ,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff1d2b99c1f06ace4012b0c7c3cb5044e0cda05)
et l’on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être.