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Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de $i$ et $o,$ on aura ce développement complet

${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'^{,}(x,y)+of^{,}\,'(x,y)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''^{,}(x,y)+iof'^{,}\,'(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f^{,}\,''(x,y)\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''^{,}(x,y)+{\frac {i^{2}o}{2}}f'^{,}\,'(x,y)+{\frac {io^{2}}{2}}f'^{,}\,''(x,y)+{\frac {o^{3}}{2.3}}f^{,}\,'''(x,y)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dans lequel la forme générale du terme est

${\frac {i^{m}o^{n}}{(1.2.3\ldots m)(1.2.3\ldots n)}}f^{m,n}(x,y).$

Dans l’opération que nous venons de faire pour avoir le développement de $f(x+i,y+o),$ nous avons commencé par substituer, dans $f(x,y),$ $x+i$ pour $x,$ et nous avons développé suivant $i\,;$ nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, $y+o$ pour $y,$ et nous avons développé suivant $o.$

Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat si l’on commençait l’opération par la substitution de $y+o$ à la place de $y,$ et par le développement suivant $o,$ et qu’on fit ensuite la substitution de $x+i$ pour $x,$ et le développement suivant $i.$

De cette manière on aurait d’abord les fonctions primes, secondes,… relatives à $y,$ c’est-à-dire, suivant la notation que nous venons d’employer, les fonctions

$f^{,}\,'(x,y),\quad f^{,}\,''(x,y),\quad \ldots .$

Ensuite on aurait les fonctions primes, secondes,… de celles-ci relatives à $x,$ et qui seraient désignées par

${\begin{array}{lll}f'^{,}\,'(x,y),&f''^{,}\,'(x,y),&\ldots ,\\f'^{,}\,''(x,y),&f^{'',''}(x,y),&\ldots ,\end{array}}$

et l’on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être.