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Si les fonctions dérivées $x'$ et $y',$ relativement à $t,$ sont constantes, en sorte que $x''=0,$ $y''=0,$ $x'''=0,\ldots ,$ on aura simplement

${\begin{aligned}z'\ \ =&x'z'^{,}+y'z^{,}\,',\\z''\ =&x'^{2}z''^{,}+2x'y'z'^{,}\,'+y'^{2}z^{,}\,'',\\z'''=&x'^{3}z'''^{,}+3x'^{2}y'z''^{,}\,'+3x'y'^{2}z'^{,}\,''+y'^{3}z^{,}\,''',\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z^{(m)}=&x^{'m}z^{(m),}+mx^{'m-1}y'z^{(m-1),'}+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{'m-2}y'^{3}z^{(m-2),''}\ldots .\end{aligned}}$

Ces valeurs, substituées dans la formule générale

$z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+\ldots ,$

donnent

${\begin{aligned}z&+\ i\ \left(x'z'^{,}+y'z^{,},'\right)\\&+{\frac {i^{2}}{2}}\left(x'^{2}z''^{,}+2x'y'z'^{,}\,'+y'^{2}z^{,},''\right)\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}\left(x'^{3}z'''^{,}+3x'^{2}y'z''^{,}\,'+3x'y'^{2}z'^{,}\,''+y'^{3}z^{,},'''\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

Et, si l’on fait

$x'=1,\quad iy'=0,$

on aura la même formule trouvée plus haut pour le développement de $z,$ suivant les puissances de $i$ et $o.$

Les expressions des fonctions $z',z'',\ldots$ que nous venons de trouver donnent la composition des fonctions dérivées de fonctions quelconques des deux variables $x$ et $y.$

Ainsi, en faisant

$x'=1,$

ce qui revient à prendre $x$ pour variable principale, c’est-à-dire à regarder $y$ comme fonction de $x,$ si l’on veut que

$\psi (x,y)+y'\varphi (x,y)$

soit une fonction dérivée d’une fonction de $x$ et $y,$ en la comparant à