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a une primitive, la valeur de $z$ sera déterminée par cette primitive eu fonction de $x$ et $y$), il faudra la regarder comme telle dans les fonctions $\psi (x,y,z)$ et $\varphi (x,y,z)\,;$ et, d’après notre notation, il est clair que la dérivée de $\psi (x,y,z)$ par rapport à $y,$ sera exprimée par

$\psi '(y)+\psi '(z)z^{,}\,',$

et que la dérivée de $\varphi (x,y,z),$ par rapport à $x,$ sera

$\varphi '(x)+\varphi '(z)z'^{,}.$

On aura donc l’équation de condition

$\psi '(y)+\psi '(z)z^{,}\,'=\varphi '(x)+\varphi '(z)z'^{,},$

savoir, en substituant pour $z'^{,}$ et $z^{,}\,'$ leurs valeurs,

$\psi '(y)+\psi '(z)\varphi (x,y,z)=\varphi '(x)+\varphi '(z)\psi (x,y,z);$

et cette équation devra avoir lieu d’elle-même, c’est-à-dire être identique pour que la variable $z$ puisse être une fonction de $x$ et $y,$ et que, par conséquent, la proposée ait une primitive en $x,y$ et $z.$ Dans ce cas, on trouvera facilement cette primitive au moyen de l’une ou de l’autre des deux équations

$z'^{,}=\psi (x,y,z),\quad z^{,}\,'=\varphi (x,y,z).$

Car, prenant, par exemple, l’équation

$z'^{,}=\psi (x,y,z),$

dans laquelle $z'^{,}$ est la dérivée de $z$ en y regardant $y$ comme constant, on pourra la traiter comme une équation du premier ordre entre $x$ et $z,$ l’autre variable $y$ étant supposée constante ; et, ayant trouvé sa primitive dans cette supposition, il faudra regarder la constante arbitraire comme une fonction inconnue de $y,$ qu’on déterminera ensuite par le moyen de l’autre équation

$z^{,}\,'=\varphi (x,y,z).$

Mais, lorsque l’équation de condition que nous venons de trouver