Mais on peut éviter la recherche de cette fonction primitive, en mettant le terme
de l’expression de
sous la forme
ce qui réduit l’équation à cette forme
![{\displaystyle z'=\left({\frac {xy^{3}}{3}}\right)'+yx^{2}-{\frac {y^{3}}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef0f3530b1413276316ac11b4e4c999fcf03bb0)
et supposant ensuite
![{\displaystyle yx^{2}-{\frac {y^{3}}{3}}=f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98a6868e0551aa37c25db7d569af991c55f6bf5)
moyennant quoi elle devient
![{\displaystyle z'=\left({\frac {xy^{3}}{3}}\right)'+f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b59aa67dbc1b07e0e1ef23e67cf338304d1375)
dont la primitive est
![{\displaystyle z={\frac {xy^{3}}{3}}+f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9e1e590752db23f2ed080ac4d5bd7a12c40b11)
Ainsi ces deux équations remplacent conjointement l’équation proposée, la fonction
demeurant arbitraire.
On doit dire, à plus forte raison, la même chose des équations que l’on pourrait supposer entre
et
dans lesquelles les fonctions dérivées
monteraient à des puissances quelconques.
Qu’on suppose, par exemple, l’équation
![{\displaystyle z'^{2}=1+y'^{2};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da3ea20cfea3e2eb0d64aaa0a73900e4ce0dbee)
en faisant
![{\displaystyle y=f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9867a6ecb3cc19e19e0af39fb46523e69e616c1)
on aurait
![{\displaystyle z'={\sqrt {1+f'^{2}(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa40a3e558e3d8dd33c147b021c81204c7ccb7d)
Et il faudrait, pour avoir
en
trouver la fonction primitive de
ce qui est impossible tant que la fonction
demeurera indéterminée, à moins d’employer les séries.
Mais, en introduisant une troisième variable, on peut avoir des expressions finies de
en fonction de cette même variable.
Pour cela il faut rétablir la fonction prime
qui est
lorsque
est la variable principale, et substituer, par conséquent,
et
à la