place de
et
conformément aux principes établis dans la Leçon septième. Ainsi l’équation sera
![{\displaystyle z'^{2}=x'^{2}+y'^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7e2d67d464a1bfd074b9646e8e7f097bff78cc)
Pour résoudre cette équation de la manière la plus générale, nous emploierons un principe dont nous ferons, dans la suite, un plus grand usage, et qui consiste à trouver d’abord des expressions de
qui y satisfassent avec des constantes arbitraires, et à rendre ensuite ces constantes variables, de manière que les expressions des dérivées
restent les mêmes.
Prenons un angle arbitraire
puisque
![{\displaystyle \sin ^{2}\omega +cos^{2}\omega =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0695a6a83fa02fe32cf1e6c9dee5d6cb8cf2123b)
en multipliant le second membre de l’équation proposée par
![{\displaystyle sin^{2}\omega +cos^{2}\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e88293e72216d1da92128e166c33830af6c10bc)
le premier ne changera pas.
Or le produit de
par
peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle (y'\cos \omega -x'\sin \omega )^{2}+(y'\sin \omega +x'\cos \omega )^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2dfce2506a42ec94ebed842d26aa34a57c1581)
de sorte que l’équation proposée deviendra
![{\displaystyle z'^{2}=(y'\cos \omega -x'\sin \omega )^{2}+(y'\sin \omega +x'\cos \omega )^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e10377b434ea5f8f165cc7c511f1e74523dd75)
Supposons
![{\displaystyle y'\sin \omega +x'\cos \omega =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404bfca99cc5cfb1cfbdd64916f7a68545583499)
ce qui est permis à cause de l’indéterminée
on aura, en extrayant la racine carrée des deux membres,
![{\displaystyle z'=y'\cos \omega -x'\sin \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787aa370d37e736bd50439de74464fdf8a789560)
Regardons d’abord l’angle
comme constant ; les deux équations que nous venons de trouver auront pour primitives ces deux-ci :
![{\displaystyle z=y\cos \omega -x\sin \omega +a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d37edbaf3a7e157fdad6a9127605dcc159609eb)
![{\displaystyle y\sin \omega +x\cos \omega =b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733ccb992d11f4b141aaa3ad3390339729ef4952)
et
étant deux constantes arbitraires.