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Et, lorsque $c=1,$ la valeur de $a$ se trouvera exprimée par la série très simple

$2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}+\ldots ,$

dont la valeur est

$2{,}718281828459\ldots .$

C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par $e,$ et qui est par conséquent la base des exponentielles dont le module est l’unité.

Ainsi, en faisant $f(x)=e^{x},$ on aura simplement $f'(x)=e^{x},$ $f''(x)=e^{x},\ldots ,$ et conséquemment

$e^{i}=1+i+{\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {i^{3}}{2.3}}+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}+\ldots .$

Si, dans l’équation trouvée ci-dessus

$a^{i}=1+ci+{\frac {c^{2}i^{2}}{2}}+\ldots ,$

on fait $i={\frac {1}{c}},$ on aura

$a^{\frac {1}{c}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+\ldots =e.$

Ainsi l’on a entre les trois constantes $a,c$ et $e$ la relation

$a^{\frac {1}{c}}=e,$

d’où l’on tire

$a=e^{c}.$

Cette équation donne aussi

${\frac {1}{a}}=e^{-c},$

d’où l’on voit qu’en prenant $c$ négatif, $a$ se change en ${\frac {1}{a}}\,;$ ainsi, en faisant ces changements dans l’équation

$c=a-1-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,$