De sorte que, si l’on a une équation qui contienne
avec les fonctions dérivées
elle ne changera pas essentiellement par les substitutions précédentes ; seulement, au lieu de supposer
fonction de
et
ce sera
qui sera fonction de
et
et ainsi pour les cas semblables.
Maintenant, puisque
est une fonction de
et
on aura de même, en prenant sa dérivée relativement à
![{\displaystyle \left({\frac {z'}{x'}}\right)'=x'\left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{x'}}\right)+y'\left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{y'}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef777d12a8602b293ef1750c73ad0050aa52a465)
mais, comme
et
entre les parenthèses, n’ont qu’une signification de convention, on peut, sans inconvénient, écrire
![{\displaystyle \left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'y'}}\right),\quad {\text{à la place de}}\quad \left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{x'}}\right),\quad \left({\dfrac {\left({\frac {z'}{x'}}\right)'}{y'}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f288f88d91367156dd1778f9f535ae85a84f293)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \left({\frac {z'}{x'}}\right)'=x'\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right)+y'\left({\frac {z''}{x'y'}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfeec999e479ec9970a8b7c58a885e820cf6221b)
On aura de même
![{\displaystyle \left({\frac {z'}{y'}}\right)'=x'\left({\frac {z''}{x'y'}}\right)+y'\left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de012aca1201284e69cbf1a60b1369770dadd64)
où l’on voit que les symboles
![{\displaystyle \left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'y'}}\right),\quad \left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b98f71ba5a6bfc0c21f261bef30c861d61b2576)
expriment ici ce que nous avions dénoté plus haut par les signes
![{\displaystyle z''^{,},{z'^{,}}',{z^{,}}''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14f17a3c52c9334eee42bc658b1a8cfaad03b60)
Donc la dérivée seconde de
c’est-à-dire la valeur de
que nous avons donnée plus haut, sera représentée ainsi
![{\displaystyle z''=x''\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y''\left({\frac {z'}{y'}}\right)+x'^{2}\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right)+2x'y'\left({\frac {z''}{x'y'}}\right)+y'^{2}\left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39996937c613603494b4946a68dbd12c71fc3ec3)