Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/323

On voit ici que $\left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right)$ et $\left({\frac {z''}{y'^{2}}}\right)$ sont aussi les coefficients de $x'^{2}$ et $y'^{2}$ dans l’expression complète de $z'',$ mais que $\left({\frac {z''}{x'y'}}\right)$ n’est plus le simple coefficient de $x'y'$ dans la même expression, comme on serait porté à le supposer d’après sa notation.

En général, l’expression $\left({\frac {z^{(m+n)}}{x^{'m}y^{'n}}}\right)$ dénotera ce que nous avions dénoté par $z^{(m,n)},$ c’est-à-dire la fonction dérivée de $z$ de l’ordre $(n+m)$^ième, prise $m$ fois relativement à $x,$ et $n$ fois relativement à $y.$

Cette dernière notation se rapproche, comme l’on voit, de celle qui est depuis longtemps en usage chez les analystes pour désigner les différences qu’on appelle partielles.

En effet, il est visible que les fonctions dérivées que nous désignons ici par

$\left({\frac {z'}{x'}}\right),\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {z''}{x'y'}}\right),\quad \ldots$

ne sont autre chose que les quantités

${\frac {dz}{dx}},\quad {\frac {dz}{dy}},\quad {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{dxdy}},\quad \ldots ,$

que plusieurs géomètres, à l’exemple d’Euler, renferment aussi entre deux parenthèses.

Ainsi on aura, en général, ces notations correspondantes

$z^{(m,n)}=\left({\frac {z^{(m+n)}}{x^{'m}y^{'n}}}\right)=\left({\frac {d^{(m+n)}z}{dx^{m}dy^{n}}}\right).$

Après avoir donné la manière de former et de noter les fonctions dérivées relativement à différentes variables, nous allons considérer les équations qui contiennent des fonctions de ce genre, et qu’on peut appeler équations dérivées à plusieurs variables.