LEÇON VINGTIÈME.
Équations dérivées à plusieurs variables. Théorie de ces équations. Méthodes générales pour trouver les équations primitives des équations du premier ordre à plusieurs variables.
Considérons d’abord une équation quelconque entre les trois variables
et
par laquelle
soit une fonction déterminée de
et
Représentons cette équation par
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501234595663d816811185ca701010a2b5cadcfd)
et supposons, pour un moment, que
et
soient des fonctions données d’une même variable
alors
sera aussi une fonction de
dépendante de l’équation proposée, et, par la théorie des équations dérivées exposées dans les Leçons précédentes, non seulement la fonction
sera nulle, mais encore ses dérivées
prises relativement à
seront nulles.
Or, en conservant la notation de la Leçon VI, on a
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,z)=x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64294fdeb2ee4c8a2f351a307840f3f75fe5d5b)
dans cette formule,
sont les fonctions dérivées de
par rapport à
et
sont les fonctions dérivées de
prises par rapport à chacune des variables
en particulier.
Ainsi l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
donnera celle-ci
![{\displaystyle x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ef6a577a0fa6e8cbd0516df2163cd5cd8f913d)
Mais, en considérant
comme fonction de
et
on a
![{\displaystyle z'=x'z'^{,}+y'{z^{,}}';}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105fa633c4b97171784d2059800215934c53e98e)