donc, substituant, on aura
![{\displaystyle x'\left[\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)\right]+y'\left[\operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e1f4b6f77ac594ec3b50c97834f913324049f4)
Pour que les fonctions
et
de
derneurent indéterminées, il faudra que leurs fonctions dérivées
et
disparaissent de l’équation précédente, ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant les deux équations séparées
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c5883d24ca5585e2f441b8e7750196578e42c4)
Il est visible que ces deux équations ne sont autre chose que les dérivées de l’équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501234595663d816811185ca701010a2b5cadcfd)
prises séparément par rapport à
et par rapport à ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
En effet, puisque dans cette équation les deux variables
et
sont essentiellement indépendantes entre-elles, ses dérivées par rapport à
et par rapport à
auront lieu chacune en particulier. Or, la variables
étant, par cette équation, une fonction de
et
dont les fonctions dérivées sont
par rapport à
seul, et
par rapport à
seul, il est clair que la dérivée de
sera
par rapport à
et qu’elle sera
par rapport à
de sorte que l’équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
donnera ces deux dérivées indépendantes
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c5883d24ca5585e2f441b8e7750196578e42c4)
lesquelles serviront à trouver les valeurs des fonctions
et
et l’on aura
![{\displaystyle z'^{,}=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {z^{,}}'=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46835dfaf083d8f1e45bdacae0002bff6f79cdce)
Ayant ainsi les valeurs des deux premières fonctions dérivées de
on en déduira celles des fonctions secondes
en prenant les dérivées de
et
par rapport à
et
et ainsi de suite.