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donc, substituant, on aura

$x'\left[\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)\right]+y'\left[\operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)\right]=0.$

Pour que les fonctions $x$ et $y$ de $t$ derneurent indéterminées, il faudra que leurs fonctions dérivées $x'$ et $y'$ disparaissent de l’équation précédente, ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant les deux équations séparées

$\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0.$

Il est visible que ces deux équations ne sont autre chose que les dérivées de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

prises séparément par rapport à $x$ et par rapport à $y.$

En effet, puisque dans cette équation les deux variables $x$ et $y$ sont essentiellement indépendantes entre-elles, ses dérivées par rapport à $x$ et par rapport à $y$ auront lieu chacune en particulier. Or, la variables $z$ étant, par cette équation, une fonction de $x$ et $y,$ dont les fonctions dérivées sont $z'^{,},$ par rapport à $x$ seul, et ${z^{,}}'$ par rapport à $y$ seul, il est clair que la dérivée de $\operatorname {F} (x,y,z)$ sera $\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)$ par rapport à $x,$ et qu’elle sera $\operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)$ par rapport à $y\,;$ de sorte que l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

donnera ces deux dérivées indépendantes

$\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0.$

lesquelles serviront à trouver les valeurs des fonctions $z'^{,}$ et ${z^{,}}'$ et l’on aura

$z'^{,}=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {z^{,}}'=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}.$

Ayant ainsi les valeurs des deux premières fonctions dérivées de $z,$ on en déduira celles des fonctions secondes $z'^{,},{z'^{,}}',{z^{,}}'',$ en prenant les dérivées de $z'^{,}$ et ${z^{,}}'$ par rapport à $x$ et $y,$ et ainsi de suite.