Il suit de là que, l’équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
ayant lieu, ses deux dérivées
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091086385fe2bf5dc88242b09ea7306b704a9741)
auront lieu aussi en même temps ; par conséquent une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi, et pourra tenir lieu de l’équation dérivée.
Ainsi une équation entre
et les deux dérivées
ou
par rapport à
et
sera une équation du premier ordre à trois variables, à laquelle répondra nécessairement une équation primitive en
Soit, par exemple, l’équation
![{\displaystyle z'^{,}+\mathrm {M} {z^{,}}'=\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dd15e65e00b1faf83ca4d9a40edfca48df0d05)
et
étant des quantités constantes.
Son équation primitive sera
![{\displaystyle z-\mathrm {N} x=\varphi (y-\mathrm {M} x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dbebb6d0a714946f878b57c95c4fd3702ea9ad)
la caractéristique
dénotant une fonction quelconque.
En effet, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à
on a
![{\displaystyle z'^{,}-\mathrm {N} =-\mathrm {M} \varphi '(y-\mathrm {M} x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b231c1a38e4499fe0a326f9e7e2151b51629bf2)
et, si l’on prend ces fonctions par rapport à
on a
![{\displaystyle {z^{,}}'=\varphi '(y-\mathrm {M} x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975d3c8895c7c78bb0c1fdcb0d0ad68d79763e99)
de sorte qu’en éliminant la fonction dérivée
on a l’équation dérivée proposée
![{\displaystyle z'^{,}+\mathrm {M} {z^{,}}'-\mathrm {N} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bfe2c56eb98259e5d572d728a0c0c6aa8ee022)
Considérons l’équation générale de la même forme, dans laquelle
et
soient des fonctions quelconques données de