Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/326

Il suit de là que, l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

ayant lieu, ses deux dérivées

$\operatorname {F} '(x)+z'^{,}\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+{z^{,}}'\operatorname {F} '(z)=0$

auront lieu aussi en même temps ; par conséquent une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi, et pourra tenir lieu de l’équation dérivée.

Ainsi une équation entre $x,y,z$ et les deux dérivées $z'^{,},{z^{,}}',$ ou $\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ par rapport à $x$ et $y,$ sera une équation du premier ordre à trois variables, à laquelle répondra nécessairement une équation primitive en $x,y,z.$

Soit, par exemple, l’équation

$z'^{,}+\mathrm {M} {z^{,}}'=\mathrm {N} ,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des quantités constantes.

Son équation primitive sera

$z-\mathrm {N} x=\varphi (y-\mathrm {M} x),$

la caractéristique $\varphi$ dénotant une fonction quelconque.

En effet, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à $x,$ on a

$z'^{,}-\mathrm {N} =-\mathrm {M} \varphi '(y-\mathrm {M} x)$

et, si l’on prend ces fonctions par rapport à $y,$ on a

${z^{,}}'=\varphi '(y-\mathrm {M} x)\,;$

de sorte qu’en éliminant la fonction dérivée $\varphi ',$ on a l’équation dérivée proposée

$z'^{,}+\mathrm {M} {z^{,}}'-\mathrm {N} =0.$

Considérons l’équation générale de la même forme, dans laquelle $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ soient des fonctions quelconques données de $x,y,z.$