Supposons que
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
soit son équation primitive ; on aura, par ce qu’on a vu ci-dessus,
![{\displaystyle z'^{,}=-{\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {z^{,}}'=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045252c58e185fff308b1124a14481ef2938d4c8)
donc, substituant ces valeurs dans l’équation proposée, et multipliant tous les termes par
on aura, en changeant les signes,
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+\mathrm {M} \operatorname {F} '(y)+\mathrm {N} \operatorname {F} '(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af6185484a28413ec495efdce7c4ab3ad179eae)
Or on a, en général, comme on l’a vu,
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,z)=x'\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9201c623fde47fd24ae11c3bc31295d5fc0ee8ff)
en regardant
comme des fonctions quelconques d’une autre variable
donc, substituant dans cette formule, à la place de
sa valeur tirée de l’équation précédente, savoir,
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y,z)=(y'-x'\mathrm {M} )\operatorname {F} '(y)+(z'-x'\mathrm {N} )\operatorname {F} '(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ecd6bed26e255c32cde75c814f442a24b7f34c)
On voit, par cette expression de la fonction dérivée
que cette fonction deviendra, nulle si l’on établit entre les trois variables
des relations telles, que l’on ait ces deux équations particulières
![{\displaystyle y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfae0df3e3567d075e9f9f9630e520a040e6544)
Ces équations, étant entre les trois variables
serviront à déterminer les valeurs de ces variables en fonctions de la troisième ; de sorte que, par la substitution de ces valeurs, la fonction
deviendra aussi une fonction de cette troisième variable. Donc, puisque sa fonction dérivée doit alors devenir nulle, il s’ensuit que la variable doit disparaître d’elle-même, et que la fonction
ne pourra contenir, après cette substitution, que des constantes.
Or, les deux équations
![{\displaystyle y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642802546d75b2fc32f9f02403300a49adcd3026)
étant du premier ordre, leurs équations primitives contiendront deux