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Il est visible que l’équation

$\operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0$

n’est autre chose que l’équation ci-dessus

$\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)=0,$

en faisant

$b=\varphi (a).$

De cette manière, on aura donc aussi une espèce d’équations primitives singulières, mais plus générales que l’équation primitive proposée, à raison de la fonction arbitraire qu’elles contiendront.

Si donc on a une équation du premier ordre à trois variables, telle que

$f\left(x,y,z,\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right)=0,$

on peut supposer qu’elle ait pour équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

où $a$ et $b$ soient deux constantes arbitraires.

Nous appellerons celle-ci équation primitive complète, à raison des deux constantes arbitraires qu’elle contient, et qui ne peuvent disparaître que par le moyen de ses deux dérivées. S’il arrivait que les deux constantes s’en allassent à la fois au moyen d’une seule de ces dérivées, elles ne pourraient alors tenir lieu que d’une seule constante, et l’équation primitive ne serait pas complète.

Dès qu’on aura trouvé une équation primitive complète, on en pourra déduire une autre plus générale, et qui contiendra une fonction arbitraire.

Car il n’y aura qu’à faire

$b=\varphi (a)$

et à déterminer ensuite $a$ par la condition

$\operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0.$

Nous nommerons celle-ci équation primitive générale, pour la distinguer de la précédente.