Enfin, la même équation primitive complète donnera encore l’équation primitive singulière, en déterminant
et
en fonction de
par les deux conditions
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f806370da343e412964129118085017f75ca471)
Par exemple, nous avons vu plus haut que l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4b2cfdee85d595df6822d7f5199a85546c5cc0)
a pour équation primitive complète
![{\displaystyle z=ax+by.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03dde40b418b5578d496d01dd6eda75a2fefb59b)
Pour en déduire l’équation primitive générale, on fera
![{\displaystyle b=\varphi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae618c51ee4273ac83955cbe41344b34edbda3c4)
et l’on prendra les fonctions dérivées par rapport à
seul ; on aura les deux équations
![{\displaystyle z=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9012991c951878bde5881125488dece8896f5b)
d’où il faudra éliminer
comme la fonction
est arbitraire, on peut, en lui donnant différentes formes, en déduire une infinité d’équations primitives complètes différentes, avec deux constantes arbitraires.
Soit, par exemple,
![{\displaystyle \varphi (a)=\mathrm {A} -{\frac {a^{2}}{4\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85f6f5400c8e3d1613652d9190e0dbb329bc68b)
les deux équations deviendront
![{\displaystyle z=ax+y\left(\mathrm {A} -{\frac {a^{2}}{4\mathrm {B} }}\right),\quad x-{\frac {ya}{2\mathrm {B} }}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61d353c99cc9e639feda7c75c9c6cc299bef77c)
la seconde donne
![{\displaystyle a={\frac {2\mathrm {B} x}{y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0705f5292490be35c21c552ea663391f4fa304)
et cette valeur, substituée dans la première, la réduit à
![{\displaystyle z=\mathrm {A} y+{\frac {\mathrm {B} x^{2}}{y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e793e7ba22ade6ca7e98d9847d56802ff7899d15)
qui est l’autre forme d’équation primitive que nous avions trouvée.