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Enfin, la même équation primitive complète donnera encore l’équation primitive singulière, en déterminant $a$ et $b$ en fonction de $x,y,z$ par les deux conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0.$

Par exemple, nous avons vu plus haut que l’équation du premier ordre

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)$

a pour équation primitive complète

$z=ax+by.$

Pour en déduire l’équation primitive générale, on fera

$b=\varphi (a),$

et l’on prendra les fonctions dérivées par rapport à $a$ seul ; on aura les deux équations

$z=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0,$

d’où il faudra éliminer $a\,;$ comme la fonction $\varphi (a)$ est arbitraire, on peut, en lui donnant différentes formes, en déduire une infinité d’équations primitives complètes différentes, avec deux constantes arbitraires.

Soit, par exemple,

$\varphi (a)=\mathrm {A} -{\frac {a^{2}}{4\mathrm {B} }},$

les deux équations deviendront

$z=ax+y\left(\mathrm {A} -{\frac {a^{2}}{4\mathrm {B} }}\right),\quad x-{\frac {ya}{2\mathrm {B} }}=0\,;$

la seconde donne

$a={\frac {2\mathrm {B} x}{y}},$

et cette valeur, substituée dans la première, la réduit à

$z=\mathrm {A} y+{\frac {\mathrm {B} x^{2}}{y}},$

qui est l’autre forme d’équation primitive que nous avions trouvée.