On pourra, de la même manière, en trouver tant d’autres qu’on voudra ; mais il est remarquable que la première équation primitive complète, d’ôù l’équation primitive générale a été déduite, n’y est jamais comprise.
Ainsi, il est impossible de déterminer la fonction
de manière que les deux équations
![{\displaystyle z=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c48226030fa630d69777440f114d26381ee69f)
donnent celle-ci
![{\displaystyle z=\mathrm {A} x+\mathrm {B} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e475b39c796c0bfb2672c0aae788dcc8a80a172)
et
étant des constantes arbitraires.
Car supposons la chose possible ; en substituant dans la première la valeur de
on aura à satisfaire à ces deux équations
![{\displaystyle \mathrm {A} x+\mathrm {B} y=ax+y\varphi (a),\quad x+y\varphi '(a)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c82100bd41bfd6230c47f1b585e8f79858fe54e)
La seconde donne
![{\displaystyle x=-y\varphi '(a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e8e7806eb59d36d85facf1d659b2a433abd434)
cette valeur, substituée dans la première, la rend divisible par
et il en résulte
![{\displaystyle \mathrm {B-A} \varphi '(a)=\varphi (a)-a\varphi '(a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbba092d651aadb083bb66544ba37cc6c694e496)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \varphi '(a)={\frac {\varphi (a)-\mathrm {B} }{a-\mathrm {A} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56a952e65220f5539a5a4c39f674e0630bde355)
divisant par
on a l’équation
![{\displaystyle {\frac {\varphi '(a)}{\varphi (a)-\mathrm {B} }}={\frac {1}{a-\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b3ccfdb3dc7de269fe0a69bdf33cccd9cc3726)
dont chaque membre est une fonction dérivée exacte.
La fonction primitive du premier membre est
et celle du second membre est
la caractéristique
dénotant le logarithme hyperbolique (Leçon IV) ; donc, prenant les fonctions primitives et ajoutant la constante arbitraire
on aura
![{\displaystyle l[\varphi (a)-\mathrm {B} ]=l(a-\mathrm {A} )+lk,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c50097a9a02ed81c13428d5dee9c138e11cd7)