mais il faudra qu’il y ait entre les fonctions
et
une relation dépendante de l’équation
![{\displaystyle \varphi '(a)=-{\frac {x}{y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06c68d0f4d13a050c7fa91a9c76c649eddc4728)
En effet, si, en regardant a comme une variable, on prend les fonctions dérivées relativement à la quantité
les équations
![{\displaystyle a=\psi \left({\frac {x}{y}}\right),\quad \varphi (a)=\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f72fb909436311996461ef54c4bf582c8b9606d)
donneront
![{\displaystyle a'=\psi '\left({\frac {x}{y}}\right),\quad a'\varphi '(a)=\Phi '\left({\frac {x}{y}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06aa21d4b997780bdf62bbb7af5f5ea8de1c214)
donc, substituant dans la seconde, pour
et pour
leurs valeurs, on aura l’équation de condition
![{\displaystyle {\frac {x}{y}}\psi '\left({\frac {x}{y}}\right)+\Phi '\left({\frac {x}{y}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d18a4debb19a9f2f57a5c12cd49b82401bfd6be)
Maintenant la première équation devient, par la substitution des valeurs de
et de
![{\displaystyle z=x\psi \left({\frac {x}{y}}\right)+y\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76435b8148a34376daac2662ad5fd79f325a7501)
et, si l’on met cette équation sous la forme
![{\displaystyle z=x\left[\psi \left({\frac {x}{y}}\right)+{\frac {y}{x}}\Phi \left({\frac {x}{y}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edd7e63a7074ac00d45ab8d419bea45b86403cc)
il est visible qu’elle se réduit à celle-ci
![{\displaystyle z=x\Psi \left({\frac {y}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8488c26de834a557d4a2f078d1c1c6a497b85300)
La fonction
demeure absolument arbitraire, puisque les deux fonctions
et
ne forment qu’une fonction de
en sorte que la relation trouvée entre ces fonctions devient ici inutile.