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Et il est bon de remarquer que cette dernière solution est précisément celle que l’on trouve directement par la méthode générale exposée plus haut pour les équations du premier ordre de la forme

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} .$

Car l’équation proposée

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right),$

étant divisée par $x$ et comparée à la formule précédente, donne

$\mathrm {M} ={\frac {y}{x}},\quad \mathrm {N} ={\frac {z}{x}},$

de sorte que les deux-équations particulières

$y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0$

deviennent

$y'-{\frac {yx'}{x}}=0,\quad z'-{\frac {zx'}{x}}=0.$

Chacune de ces deux équations, étant divisée par $x,$ devient une dérivée exacte, et l’on a les deux primitives

${\frac {y}{x}}=a,\quad {\frac {z}{x}}=b.$

On a ainsi

$\mathrm {P} ={\frac {y}{x}},\quad \mathrm {Q} ={\frac {z}{x}}\,;$

d’où résulte l’équation primitive

${\frac {z}{x}}=\varphi \left({\frac {y}{x}}\right),$

qui s’accorde avec celle que nous venons de trouver.

On voit aussi que cette forme renferme l’équation complète

$z=ax+by\,;$