Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/345

car il n’y a qu’à supposer

$\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)=a+b{\frac {y}{x}}.$

Si l’on avait l’équation du premier ordre

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)+f\left[\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right],$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque donnée des deux fonctions dérivées $\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right),$ on trouverait aisément pour son équation primitive complète l’équation

$z=ax+by+f(a,b),$

$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires.

En effet, en prenant les deux dérivées de cette équation par rapport à $x$ et à $y,$ on a

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=a,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=b,$

et, substituant ces valeurs de $a$ et $b,$ il vient l’équation proposée.

Maintenant, pour trouver l’équation primitive générale, il n’y aura qu’à faire

$b=\varphi (a),$

et déterminer ensuite $a$ par la dérivée, prise relativement à $a$ seul.

Ainsi on aura le système des deux équations

$z=ax+y\varphi (a)+f\left[a,\varphi (a)\right],\quad x+y\varphi '(a)+f'\left[a,\varphi (a)\right]=0.$

Enfin, pour avoir l’équation primitive singulière, on éliminera $a$ et $b$ au moyen des deux dérivées, l’une par rapport à $a,$ et l’autre par rapport à $b.$ Ces dérivées sont

$x+f'(a)=0,\quad y+f'(b)=0.$

Comme l’élimination de $a$ et $b$ est impossible tant qu’on ne particularise pas la fonction $f(a,b),$ si à la place des variables $x$ et $y$ on