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tians analytiques^[1], que, par rapport à une surface quelconque dont on a l’équation en $x,y,z$ les expressions précédentes des quantités $a,b,c$ donnent également les éléments du plan tangent de la surface au point qui répond aux coordonnées $x,y,z\,;$ d’où il suit que deux surfaces qui, pour les mêmes coordonnées, auront aussi les mêmes valeurs des fonctions dérivées $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ se toucheront nécessairement au point qui répond à ces coordonnées, puisqu’elles auront l’une et l’autre le même plan tangent.

Cela posé, l’équation primitive complète

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

dans laquelle $a$ et $b$ sont des constantes arbitraires, représente une surface dont la nature et la position dépendent de ces constantes ; en sorte qu’en faisant varier ces constantes la surface variera aussi successivement.

Or, si l’on fait

$b=\varphi (a)$

et qu’on détermine $a$ en fonction de $x,y,z,$ de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si $a$ ne variait pas, ce qui donne l’équation primitive générale, il est visible que cette équation représentera une surface tout à fait différente, mais qui aura, en chaque point, le même plan tangent que si la quantité $a$ demeurait constante, puisque les expressions des quantités $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ restent les mêmes. Donc cette surface sera touchée en chaque point par la surface de l’équation primitive complète qui répond à

$b=\varphi (a),$

et où $a$ aura une valeur constante déterminée par l’équation

$\operatorname {F} '\left[a,\varphi (a)\right]=0,$

qui est la condition de l’équation primitive générale, les valeurs de $x,$

1. Œuvres de Lagrange, t. IX.