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deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

ce qui donne alors l’équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera aussi touchée par la surface de l’équation primitive complète, dans laquelle $a$ et $b$ auront des valeurs constantes, puisque les valeurs des expressions $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ sont encore les mêmes, soit que $a$ et $b$ soient constantes ou variables, et les points d’attouchement pour des valeurs données de $a$ et $b$ seront déterminés par les deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

combinées avec l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0\,;$

de sorte que, pour chaque valeur de $a$ et $b,$ il n’y aura qu’un point de contact déterminé ; d’où il est aisé de conclure que la surface représentée par l’équation primitive singulière ne sera touchée en chacun de ses points que par une des surfaces de l’équation primitive complète

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$

mais qu’elle sera touchée par toutes celles qui peuvent être représentées par cette équation, en donnant à $a$ et $b$ des valeurs constantes quelconques ; de sorte qu’on pourra regarder cette même surface comme formée par l’intersection mutuelle et continuelle de toutes les surfaces dont nous parlons, en faisant varier successivement les valeurs des constantes $a$ et $b.$

Cette théorie n’est, comme l’on voit, qu’une généralisation de celle que nous avons donnée dans la Leçon XVIII, sur les courbes représentées par les équations primitives ordinaires ou singulièresdes équations du premier ordre à deux variables.

L’équation primitive complète

$z=ax+by+f(a,b),$