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que nous avons traitée plus haut, représente, comme l’on voit, un plan dont la position dépend des deux constantes $a$ et $b.$

Si l’on fait

$b=\varphi (a)$

et qu’on détermine $a$ par l’équation

$x+y\varphi '(a)+f'\left[a,\varphi (a)\right]=0$

pour avoir l’équation primitive générale, la surface représentée par cette équation sera touchée et formée par l’intersection mutuelle et successive de tous les plans représentés par l’équation

$z=ax+y\varphi (a)+f\left[a,\varphi (a)\right],$

en donnant successivement à $a$ toutes les valeurs possibles, et cette surface sera développable dans le sens le plus étendu.

Mais, si l’on détermine $a$ et $b$ par les deux équations

$x+f'(a)=0,\quad y+f'(b)=0,$

ce qui donne l’équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera formée et touchée par tous les plans qui peuvent être représentés par l’équation

$z=ax+by+f(a,b),$

en donnant successivement à $a$ et $b$ toutes les valeurs successives possibles.

Et toutes ces différentes surfaces seront représentées à la fois par l’équation du premier ordre

$z=x\left({\frac {z'}{x'}}\right)+y\left({\frac {z'}{y'}}\right)+f\left[\left({\frac {z'}{x'}}\right),\left({\frac {z'}{y'}}\right)\right].$

On peut voir, dans les écrits de Monge, la théorie de la génération des surfaces et des équations qui peuvent les représenter, développée dans toute son étendue, et avec des considérations particulières et ingénieuses qui lui appartiennent.