Lorsque l’équation du premier ordre renfermera plus de trois variables, on pourra aussi la supposer déduite d’une équation entre ces mêmes variables, et autant de constantes arbitraires qu’il y aura de variables moins une ; car alors cette équation fournira autant d’équations dérivées qu’il y aura de constantes, par lesquelles on pourra, en éliminant ces constantes, parvenir à l’équation du premier ordre.
L’équation avec les constantes arbitraires sera donc l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre ; et l’on en pourra déduire des équations primitives plus ou moins générales par la variation de ces constantes, en supposant l’une, ou quelques-unes d’entre elles, fonctions de toutes les autres, et les déterminant par les équations dérivées prises par rapport à chacune de celles-ci.
Enfin si, sans établir aucun rapport entre ces constantes, on les détermine toutes par les équations dérivées prises par rapport à chacune d’elles en particulier, on aura l’équation primitive singulière ; car, par ces déterminations, les équations dérivées resteront les mêmes, et le résultat de l’élimination sera, par conséquent, le même que si les variables étaient demeurées constantes.
Ainsi l’équation entre quatre variables et trois constantes
sera la primitive complète de l’équation du premier ordre entre et les trois fonctions dérivées déduites des trois dérivées prises par rapport à
en éliminant, par leur moyen, les trois constantes
De là, en regardant comme variables, et faisant
on aura l’équation primitive générale par les deux équations dérivées
