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relatives à $a$ et $b,$

$\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)\operatorname {F} '(c)=0,\quad \operatorname {F} '(b)+\varphi '(b)\operatorname {F} '(c)=0,$

et, si l’on fait à la fois

$c=\varphi (a),\quad b=\psi (a),$

on aura une autre équation primitive moins générale, en déterminant $a$ par l’équation relative à $a$

$\operatorname {F} '(a)+\psi '(a)\operatorname {F} '(b)+\varphi '(a)\operatorname {F} '(c)=0.$

Enfin on aura l’équation primitive singulière par les trois équations dérivées relatives à $a,b,c,$,

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,\quad \operatorname {F} '(c)=0.$

On voit par là qu’en général toute équation du premier ordre entre trois variables, dont une est censée fonction des deux autres, peut avoir pour équation primitive une équation entre ces mêmes variables, contenant une fonction arbitraire ; que toute équation du premier ordre entre quatre variables, dont une sera censée fonction des trois autres, pourra avoir pour équation primitive une équation entre ces quatre variables, contenant une fonction arbitraire de deux quantités formées de ces variables, et ainsi de suite l’introduction de ces fonctions arbitraires dans les équations primitives et leur évanouissement dans les équations dérivées sont le vrai caractère qui distingue les équations dérivées à plusieurs variables de celles qui n’ont que deux variables, et où l’équation primitive n’admet que des constantes arbitraires.

Nous avons donné plus haut une méthode directe pour trouver l’équation primitive de toute équation du premier ordre à un nombre quelconque de variables, lorsque les fonctions dérivées n’y passent pas le premier degré. On peut, par une considération fort simple, que j’ai proposée il y a longtemps [Mémoires de Berlin de 1772^[1]], rendre toute équation du premier ordre à trois variables susceptible de cette méthode. Mais il se présente alors, dans l’application de la même mé-

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 549.