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thode, des difficultés qui ont échappé à ceux qui ont déjà fait cette application, et que je n’ai pas cherché à résoudre dans la Théorie des fonctions^[1], en traitant le même sujet, parce que je n’avais encore rien trouvé de satisfaisant. C’est ce qui m’engage à revenir sur cet objet pour n’y plus rien laisser à désirer.

Faisons, pour plus de simplicité,

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=p,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=q\,;$

toute équation du premier ordre à trois variables sera représentée par

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0,$

et l’on aura la formule

$z'=px'+qy',$

à laquelle il faudra satisfaire par le moyen de l’une des indéterminées $p$ et $q,$ l’autre étant donnée par l’équation du premier ordre.

Comme les quantités $p$ et $q$ ne peuvent être que des fonctions de $x,y,z,$ si l’on suppose

$p=\psi (x,y,z),\quad q=\varphi (x,y,z),$

on aura l’équation

$z'=x'\psi (x,y,z)+y'\varphi (x,y,z),$

qui ne peut avoir une équation primitive qu’autant que les fonctions désignées par $\psi$ et $\varphi$ satisferont à la condition

$\psi '(y)+\psi '(z)\varphi (x,y,z)=\varphi '(x)+\varphi '(z)\psi (x,y,z),$

comme nous l’avons vu dans la Leçon précédente.

Or, puisque

$\psi (x,y,z)=p\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y,z)=q,$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\psi '(y)=&\left({\frac {p'}{y'}}\right),\qquad &\psi '(z)=&\left({\frac {p'}{z'}}\right),\\\varphi '(x)=&\left({\frac {q'}{x'}}\right),&\varphi '(z)=&\left({\frac {q'}{z'}}\right)\,;\end{alignedat}}$

1. Œuvres de Lagrange, t. IX.